2016. már 14.

3. hó 14-e, 1 óra 59 perc 26 másodperc…

írta: BME FTT
3. hó 14-e, 1 óra 59 perc 26 másodperc…

Hogyan jutottunk el a Pi mai értékéig?

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510.., azaz a Pi szám első 50 tizedesjegye. Első ránézésre nem jelent semmi különöset, mégis: a π szinte mindenhol jelen van. Egy kör alakú tányérban, egy kerekeken guruló autóban, egy fonott kosárban vagy egy karikagyűrűben. De ott van a DNS-ünk kettős hélixében, szemünk pupillájában vagy a tó felszínén kacsázó kő okozta hullámzásban. Március 14-én nemzetközi π-napot ünneplünk, és bár az ünnep XX. századi, a π sorsa egészen az ókori Egyiptomig nyúlik vissza.

triple-berry-pi-day-pie_hero-750x499.jpg
1988 óta ünnepeljük március 14-én a Nemzetközi π-Napot, köszönhetően az ötletadó
Larry Shaw fizikus professzornak. A meglehetősen szokatlan ünnep során a San Francisco-i Exploratorium Múzeum kör alakú csarnokában körbejártak az intézet munkatársai, majd a külön erre az alkalomra készíttetett – a π számjegyeivel díszített – pite elfogyasztásával koronázták meg a különleges alkalmat. Azóta hagyomány világszerte elterjedt és piteevéssel, π-felmondóversennyel, vetélkedőkkel és konferenciákkal köszöntik a különleges számot, az internetezők pedig π-képeket gyártanak. Ráadásként a rendezvényeken még az árak is a 3, 1 és 4 számokból tevődnek össze.

De vajon miért tartjuk ennyire érdekesnek a π -t?

Meghatározása a középiskolai tanulmányokból jól ismert: az a szám, amely kifejezi a kör kerületének és átmérőjének arányát. Neve is innen ered, a görög perimetrosz szóból, aminek jelentése kerület. Világunk e fontos konstansa első ránézésre  semmi különöset nem árul el magáról, ha csak azt nem, hogy egy nagyon-nagyon hosszú számsorozat:  
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751...

Egyiptomban 4000 évvel ezelőtt már sejtették

Nehéz tetten érni a pillanatot, amikor először fogalmazódott meg a kérdés: vajon a kör kerülete mennyivel nagyobb az átmérőnél? Bár őseink fejében aligha így hangzott a kérdés, de egy adott méretű kosár megfonásához mégis tudniuk kellett mekkora gallyra lesz szükségük. Bár 10 000 évvel korábbról nem maradtak fenn erre vonatkozó írások, valószínűsíthető, hogy ezt az arányt akkoriban 3-nak gondolták.  Ez a szám még a Bibliában is megjelenik:

És csinála egy öntött tengert, mely egyik szélétől fogva a másik széléig tíz sing volt, köröskörül kerek, és öt sing magas, és a kerületit harmincz sing zsinór érte vala körül.

(Királyok I. könyve, 7.23.)

Az első pontos számítás az egyiptomiaktól maradt ránk. Henri Rhind, skót régiségkereskedő, 1858-ban tüdőbaját akarta kezeltetni Egyiptomban, amikor eladásra kínáltak neki egy papirusztekercset. A tekercs korát i.e. 1660-ra becsülték, ám matematikai tartalma közel 4000 éves.

pi_1.jpg
A Rhind-tekercs, amelyen az első pontos számítást megtalálták a Pi-re vonatkozóan.

A feladványok között bukkantak erre a példára is: „Mekkora egy 9 khet átmérőjű kerek terület nagysága?” (A khet egyiptomi mértékegység, nagysága kb. 52,3 méter.) A válasz pedig így hangzik: „Végy el 1/9-et az átmérőjéből és utána emeld négyzetre. Ezzel megkapod a kör területét.” Kicsit átfogalmazva a megoldást a terület kiszámítására a (d*8/9)² formulát kapjuk, (ahol d az átmérő), ami mai területszámítási módszereinkkel a π értékére 3,16-ot ad.

A görögök újra megpróbálták

A π kiszámítására a görögök tettek újabb kísérletet, akik a kört szerették volna négyszögesíteni, azaz egy olyan négyzetet akartak szerkeszteni, amely egy adott kör területével megegyező nagyságú. Azonban a feladat megoldásához szükségük volt a π értékére. Ennek megfejtésben Arkhimédész (i.e. 287-212) jutott a legtovább, aki elméleti és gyakorlati, valamint mechanikai jellegű ismereteit ötvözve a korábban kidolgozott módszereket továbbfejlesztette. A kör vonalát beleírható és köréírható ugyanannyi oldalú, de eltérő területű sokszögekkel próbálta közelíteni, mivel ezek területét már akkor is ki tudták számolni. Bár szerkesztésben nem, de számításaiban egészen a 96 oldalú sokszögek területéig jutott, amely alapján már 3,140845 és 3,142857 közé szűkítette az arányt.

350px-archimedes_pi_svg.png

Ezt a módszert alkalmazta Ptolemaiosz is, aki viszont már a 720 oldalú szabályos sokszögekig jutott és eredményül 3,141666…-ot kapott. Majdnem 500 évet kellett várni az újabb áttörésre, amikor a kínai Cu Cseng Ce több mint 24 ezer oldalú (egész pontosan 24 576) sokszögek segítségével a π értékére már 6 tizedesjegy pontosságú becslést adott. Ezt a rekordot újabb 1000 évig ismét nem sikerült felülmúlni, mígnem az 1400-as években, az arab származású matematikus Al-Kási Dzsamsid Gijászaddín egy több mint 805 millió oldalú sokszöggel 16 tizedesjegy pontossággal számolta ki a π értékét.

A mnemotechnikai versek egy fajtájába tartoznak az ún. π-versek, amelyekben a vers minden egyes szava a π számjegyeinek megfelelő hosszúságú. Ilyen Szász Pál matematikus 1952-ben írt költeménye is:

 Nem a régi s durva közelítés,
Mi szótól szóig így kijön
Betűiket számlálva.
Ludolph eredménye már,
Ha itt végezzük húsz jegyen.
De rendre kijő még tíz pontosan,
Azt is bízvást ígérhetem.

Tizedesjegyek bűvkörében

Az újkorban a „π-kutatás” három főbb irányvonalon képviseltette magát. (1) Az egyik irányvonalat főleg a π szám természetére vonatkozó kutatások jelentették. Ennek legnagyobb úttörője 1767-ben
Johann Heinrich Lambert volt, aki először bizonyította be, hogy a π egy irracionális szám. (2) A második irányvonal az ókorból is jól ismert körnégyszögesítés problematikája volt, amely az 1700-as években heves vitákba torkollott. A feladat nemcsak két neves matematikus (Thomas Hobbes és Gregorie de Saint-Vincent) fantáziáját mozgatta meg, hanem kisebb kaliberű tudósok is megoldást akartak kínálni a problémára.

Annyi szakember és tudománykedvelő küldözgette lehetséges bizonyításait a francia akadémiára, hogy végül már külön csoportnak kellett foglalkoznia ezekkel a beadványokkal. pi-day-pencils-wacodis-030602015.jpgA helyzet 1755-ben már annyira tűrhetetlenné vált, hogy az akadémia egy határozatban kijelentette: nem fogad többé ilyen jellegű munkákat.

Bár a tiltakozási hullám hatására visszavonták a tilalmat, a körnégyszögesítő beadványokat lektoráló bizottságot „Eltévelyedett Gyermekek Bizottságára” keresztelték, ami miatt később egy pert is a nyakukba akasztottak. A közvéleményt is foglalkoztatta ez a megoldatlan rejtély és a helyzetet kihasználva két szélhámos négyszögesítő irodát is nyitott:

Mióta világ a világ, létezik egy összemérhető és állandó arány a kör és egy adott egyenesoldalú sokszög között. Ez a pontos arány 9 179/200 -zal egyenlő! Keresse föl rendeléseivel a Négyszögesítő Irodát!
(A Négyszögesítő Iroda prospektusa)

(3) A harmadik irányvonalon, a tizedesjegyek kiszámítása terén az egyik legnagyobb áttörést az 1600-as évek elején Ludolph van Ceulen-nek tulajdonítják, aki 20 tizedesjegyig jutott és halála után még további 15 került elő a kézirataiból. Pusztán a számolás szenvedélyéért vágott bele a 3,2 milliárd oldalú sokszöggel való közelítésbe és annyira rabjává vált a π -nek, hogy halálakor azt kérte, sírjára is ezek a számok kerüljenek. Tiszteletére nevezték el ezt a körben található arányt Ludolph-féle számnak, amit végül 1706-ban William Jones walesi mérnök keresztelt el a ma is használt π-re.

Azonban a sokszöggel való kalkulálás elérte korlátait és egyre többen egyszerűbb módszereket kerestek a π meghatározására. A XVIII. században Euler felfedezett egy újfajta módszert, amellyel 128 számjegyet mindössze 80 óra alatt kiszámolt, ráadásul egy korábbi becslés egyik számjegyét is kijavította. A legutolsó nagy számoló, William Shanks 1873-ban a 707. tizedesjegyig jutott, a párizsi Palais de Découverte (Felfedezések Palotája) egyik termének falát az 1930-as években is ezzel a számsorral díszítették. További érdekesség, hogy 1949-ben a korábban tévesen kiszámolt 528. számjegyet ki kellett cserélni.

Bármennyire is őrültségnek tűnhet a π kiszámítása melletti ilyen fokú elköteleződés, a tudósok munkája közel sem volt haszontalan. Az algebrai sorok és összefüggések feltárásán kívül a Ludolph-szám körüli forgolódás rengeteg érdekes részletre derített fényt. Bár a π irracionális szám (vagyis nem írható fel két szám hányadosaként, tizedestört formájában felírva pedig végtelen, és számjegyei soha nem ismétlődnek) többször szerepel a számsorban a 01234567890 és ennek fordítottja is. Az első 20 számjegyét összeadva kereken 100-at kapunk eredményül és megtalálható benne a 27828182845 számrészlet, ami egy másik állandó, az e (Euler-szám) első néhány jegye. Ma az Euler-szám segítségével tudjuk modellezni a természetben fellelhető logaritmikus spirálokat, pl. a galaxisokat és ciklonokat.

A végtelenbe ér a Pi útja

A számítógép kor beköszöntének eredményeként 1949-ben a Neumann János által is tervezett ENIAC már 2037 számjegyig jutott, 1950-ben az IBM egyik modellje 100 000-ig számolt, majd az 1980-as évektől sorra jöttek a milliós nagyságrendek.

2009-ben a brit Fabrice Bellard közel 2,7 billió, vagyis 2700 milliárd tizedesig haladt a számítással. Ráadásul eredményét az új algoritmusának hála, a korábbi rekorder 2,6 billiójánál jóval olcsóbban, mindössze egy személyi számítógép segítségével produkálta.

De a különleges cím nem tartott sokáig, 2011-ben Shigeru Kondo már 10 trillió számjegyig (!) jutott, amelyet a nosztalgia kedvéért a TWO-N New York-i dizájncsapattal karöltve egy infografikán is megörökítettek. Természetesen nem a teljes számítást, mindössze 4 millió tizedesjegyet rajzoltak fel. Kondo 2013-ban saját rekordját döntötte meg újabb 2,1 trillió tizedesjeggyel.

article-2051950-0e7999d700000578-490_468x264-horz.jpgShigeru Kondo, aki 2013-ban saját 10 trilliós tizedesjegy rekordját is megdöntötte.

 Érdekességek

  1. Albert Einstein március 14-én született.
  2. A Givenchy cég reklámanyaga szerint a matematikadolgozat írása előtt a Pi parfüm használata a férfiak előnyére válhat. Az illatszergyártó azt állítja, hogy a termék fás illata a π-re emlékeztet.
  3. A π értéke egy törttel jól közelíthető, a 22/7-del. A tört tiszteletére július 22-e szintén ünnepnap, ez a Pi Approximation Day (Pi-t Megközelítő Nap).
  4. A π-memorizálók naponta 10-15 számmal gyarapítják memóriabankjukat. 2004. március 14-én, a nemzeti ünnep tiszteletére Daniel Tammet 22 514 számjegyet sorolt fel, állítása szerint mindössze két hét tanulással.

Források

  • Florica T. Cimpan: A Pi története
  • Szabó Mariann: Pi formulák (Debreceni Egyetem, Természettudományi Kar, Matematikai Intézet) Vol. 57, No. 1 (2003), pp. 9-31
  • Reader's Digest: Tudástár: Pi (http://www.rd.hu/Tud%C3%A1st%C3%A1r_Pi)
  • http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-12t/
Szólj hozzá

tudománytörténet