2019. nov 06.

Az ógörög kombinatorika: Mai ásatások a tudománytörténet ősi rétegeiben

írta: BME FTT
Az ógörög kombinatorika: Mai ásatások a tudománytörténet ősi rétegeiben

Az ógörög matematika a tudománytörténet egyik legkedvesebb szerelme. Rengeteg kitűnő koponya kutatta az évszázadok során, számtalan értelmezés született a fennmaradt szűkös forrásanyagról, és folyamatos inspirációt tudott nyújtani a matematika történetének minden korszaka számára. Radikálisan újat viszont nehéz mondani vele kapcsolatban: elvégre a források adottak, az értelmezési lehetőségeket már végigzongorázták, és csak a részletek összerakásának módja lehet még vita tárgya – gondolhatná a gyanútlan laikus. Ám ezzel szemben az a helyzet, hogy még napjainkban is bukkanhatunk forradalmian új felfedezésekre. 

 

Számháború a régmúlt és a jelen között

Plutarkhosz, az i.sz. 1–2. századi római életrajzíró az egyik művében röviden beszámol a következőkről: Khrüszipposz (i.e. 3. század), a sztoikus filozófiai iskola nagy alakja és az ókori logika egyik legjelesebb művelője egyszer azzal dicsekedett, hogy az általa bevezetett tíz mondatfajta legalább egymillióféleképpen rakható össze. Ám – mondja Plutarkhosz – ezt minden aritmetikus cáfolja, köztük Hipparkhosz (az i.e. 2. század csillagász-óriása), aki szerint a keresett szám 103 049 az állításokra, vagy 310 952 a tagadásokra. 

"The_School_of_Athens"_by_Raffaello_Sanzio_da_Urbino.jpg (3820×2964)

Raffaello Santi: Az athéni iskola; Hipparkhosz feltételezhetően a jobb szélen, szemből látható, gömbbel a kezében

Mondanunk sem kell, hogy ezzel a történettel nem tudtak mit kezdeni a kutatók: a számok teljesen légből kapottnak tűnnek, és ráadásul a felvázolt probléma kombinatorikai jellegű, amely a matematika egy igen absztrakt és későn kifejlődött ága. Ha valamiben egyetértés alakult ki a matematikatörténészek között, akkor az például az, hogy a görögök geometriát műveltek, és a matematika egyéb területei, mint például az aritmetika, csak háttérbe szorulva vagy ahogyan a trigonometria és a kezdetleges analízis, teljesen a geometriába ágyazva jelentek meg. A kombinatorika egyszerűen nem fér bele a képbe…

Aztán 1994-ben egy matematika szakos amerikai hallgató, David Hough felfedezte, hogy Hipparkhosz első száma, a 103 049 éppen a tizedik Schröder-szám. Ezek a számok a kombinatorikában fontosak, az n-edik Schröder-szám megadja például azt, hogy hányféleképpen zárójelezhetünk n darab nyelvi elemet. Vajon lehet-e véletlen, hogy Plutarkhosz leírásában, amely tízféle objektum összetételéről beszél, éppen ez a szám szerepel?

Aligha – gondolta Fabio Acerbi, egy PhD-zett fizikusból lett olasz középiskolai tanár, aki szenvedélyes figyelemmel fordult a görög matematika felé. 2003-ra sikerült rekonstruálnia a problémát olyan módon, hogy abban körvonalazódott Hipparkhosz megoldása és a Schröder-számok szerepe, valamint az is kiderült, hogy a nagyobb szám (310 952), amely egyébként a tizedik és tizenegyedik Schröder-számból egyszerűen származtatható, szintén jó megoldás lehet a problémára.¹ A matematikatörténészek eleinte vonakodva, majd később egyre lelkesebben elfogadták az eredményt, azzal a konklúzióval együtt, hogy a görögök igenis képesek voltak viszonylag komplex kombinatorikai problémák megoldására. Egy neves logikatörténész pedig megmutatta, hogy bár Hipparkhosz megoldása korrekt, de Khrüszipposz felfogása kissé eltérő lehetett, amely esetben az ő megoldása is teljesen helyes.

 

A lekapart bizonyíték

Mindez jól összevág egy másik, szintén meglehetősen friss felfedezéssel, amely azonban egy bő évszázaddal korábbra nyúlik vissza. 1906-ban Johan Ludvig Heiberg, egy dán filológus és jeles tudománytörténész a konstantinápolyi könyvtárban tanulmányozott egy régi pergamenkódexet, egy 13. századi imakönyvet, amikor felfedezte, hogy a mű egy palimpszeszt. Ezzel a névvel illetjük azokat a régi kódexeket, melyeknek a lapjait lekaparták az újrahasznosítás érdekében, s így a régi, feleslegessé vált szöveg helyére új írás került. Mivel a lekaparás művelete többnyire nem járt tökéletes eredménnyel, az eredeti szöveg gyakran még halványan kivehető. Ebben az esetben Heibergnek azt sikerült megállapítania, hogy az így majdnem eltüntetett, 10. században lejegyzett szöveg szerzője nem más, mint az ókor talán legjelesebb matematikusa, az i.e. 3. századi Arkhimédész, a szövegek között pedig van olyan (A módszer), melyet egészen addig elveszettként tartottak számon!

before

after

Az Arkhimédész palimpszesz a láthatóvá tétel előtt és után

Bár Heiberg 1915-re kisilabizálta a könyvből mindazt, amit tudott, sajnos a kódex az első világháború során elveszett, és fordulatos története következő szakaszában magánkezekben rejtőzött, egészen 1998-ig, amikor is a nevét titkoló tulajdonosa a tudományos vizsgálatok rendelkezésére bocsátotta. Ezután 10 éven át tartó óvatos munkával restaurálták a kódexet és modern képalkotó eljárásokkal olvashatóvá tették az eredeti műveket. Így találták meg az Osztomakhion című, arabul csak töredékesen fennmaradt mű első oldalát – bár a többit sajnos a kódex ebben a formában már nem tartalmazta.

A Osztomakhion – Reviel Netz, napjaink egyik legkitűnőbb matematikatörténészének rekonstrukciója szerint – a következő kérdést fogalmazza meg: Hányféleképpen illeszthető össze 14 darab adott geometriai elem úgy, hogy egy négyzetté álljanak össze? kuti_abra.png(Lásd az ábrát.) A válasz (figyelembe véve a lehetséges forgatásokat, tükrözéseket) meglepően nagy: 17 152.² Azt azonban feltehetőleg soha nem fogjuk megtudni, hogy Arkhimédész milyen megoldásra jutott, vagy jutott-e egyáltalán megoldásra, hiszen csak a kiinduló lépéseit ismerjük. (Tegyük hozzá, hogy ha valaki a görögök közül, akkor ő igazán alkalmas jelölt arra, hogy sikeresen megoldjon egy ilyen komplexitású feladatot.) De ha a válasz nem is ismert, a kérdés igen, és ez a kérdés kombinatorikai természetű. Úgy tűnik tehát, az ókor legnagyobb matematikusának is volt egy kombinatorikai tárgyú munkája.

 

Évtizedekkel ezelőtt még anakronizmusnak számított volna az a kifejezés, hogy „ógörög kombinatorika”, ám ma már azt gondoljuk, hogy bizony létezett ez a gyakorlat, és igen neves matematikusok foglalkoztak vele. Talán azért nem maradt ránk részletesebben, eltekintve néhány emlékfoszlánytól, mert a művek fennmaradásáért felelős utókor kevésbé találta érdekesnek, mint a klasszikus geometria remekeit; vagy talán azért, mert eleve csak marginális szereppel bírt a görög matematikában, és észrevétlenül elsüllyedt a feledés tengerében – a görög tudomány és bölcselet talán számos egyéb területével együtt.

 

¹ Pontosabban a helyes szám a 310 954, lásd Laurent Habsieger, Maxim Kazarian, Sergei Lando: ‟On the Second Number of Plutarch.”  American Mathematical Monthly 105 (1998), 446. Az eltérés oka nagy valószínűséggel másolási hiba.

² Lásd pl. http://www.logelium.de/Stomachion/StomachionSolutions.pdf 

Források:

  • Plutarkhosz: A sztoikusok ellentmondásai, 29 (1047 C–).
  • Richard P. Stanley: ‟Hipparchus, Plutarch, Schröder and Hough.” American Mathematical Monthly 104 (1997), 344–350.
  • Fabio Acerbi: ‟On the Shoulders of Hipparchus. A Reappraisal of Ancient Greek Combinatorics.” Archive for History of Exact Sciences 57 (2003), 465–502.
  • Suzanne Bobzien: ‟The combinatorics of Stoic conjunction.” Oxford Studies in Ancient Philosophy 40 (2011), 157–188.
  • Reviel Netz, William Noel: The Archimedes Codex: How a Medieval Prayer Book Is Revealing the True Genius of Antiquity's Greatest Scientist. Da Capo Press, 2007.
  • Reviel Netz, Fabio Acerbi, Nigel Wilson, ‟Towards a Reconstruction of Archimedes’ Stomachion.” Sciamus 5 (2004), 67–99.

Képek forrása:

 

Kutrovátz Gábor, egyetemi docens a BME GTK Filozófia és Tudománytörténet Tanszéken, az Áltudomány és tudomány, valamint az Érveléstechnika - logika tantárgy oktatója. Kutatási területe a csillagászat története és a szakértelem fogalma és ismeretelméleti szerepe.

Szólj hozzá

matematika tudománytörténet ógörög kombinatorika